برای تعیین علامت عبارت زیر، باید شرایطی را بررسی کنیم که در آن کسر مثبت باشد:
\[
\frac{x^3 - 14x}{x^3 - 4x + 2} > 0
\]
ابتدا باید نقاطی را پیدا کنیم که در آن‌ها صورت یا مخرج صفر می‌شوند:
1. **صورت:** \(x^3 - 14x = 0\)
\[
x(x^2 - 14) = 0
\]
\[
x = 0, \quad x = \pm\sqrt{14}
\]
2. **مخرج:** \(x^3 - 4x + 2 = 0\)
برای حل این معادله، به ریشه‌یابی عددی یا آزمون ریشه‌گیری نیاز داریم تا ببینیم کدام مقادیر \هx\ باعث صفر شدن مخرج می‌شوند.
برای ادامه، باید علامت هر بخش را بین ریشه‌ها بررسی کنیم. برای این کار، جدول تغییرات علامت تهیه می‌کنیم. باید به بخش‌های جداگانه تقسیم کنیم:
- \((-\infty, -\sqrt{14})\)
- \((-\sqrt{14}, 0)\)
- \((0, \sqrt{14})\)
- \((\sqrt{14}, \text{ریشه‌های مخرج})\)
- \((\text{ریشه‌های مخرج}, +\infty)\)
تحلیل علامت صورت و مخرج در هر بخش را انجام می‌دهیم و نواحی که حاصل‌ضرب آن‌ها مثبت است را مشخص می‌کنیم. اینجا چون اطلاعات دقیقی از ریشه‌های مخرج نداریم، کامل انجام نمی‌شود اما می‌توانید با معادله‌ساز عددی این مراحل را انجام دهید.
در نهایت، نواحی‌ای که در آن‌ها حاصل کسر مثبت باشد را انتخاب می‌کنیم و به عنوان جواب تعیین می‌کنیم، با توجه به ریشه‌هایی که در تحلیل خود به دست می‌آوریم.
